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(精品人教)2020年高二数学下学期期末复*备考之精准复*模拟题(B卷01)浙江版

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※精 品 ※ 试 卷※
2017-2018 学年高二数学下学期期末复*备考之精准复*模拟题(B 卷 01)浙江版

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________得分:

评卷人 得分

一、单选题

? ? 1.已知全集为 R ,集合 M ? ??1,0,1,5?, N ? x | x2 ? x ? 2 ? 0 ,则 M CR N ? ( )

A.?0,1?

B. ??1, 0,1?

C. ?0,1, 5?

D.??1,1?

【答案】A

【解析】

试题分析:因 CR N ? {x | x2 ? x ? 2 ? 0} ? {x | ?1 ? x ? 2} ,故 M CR N ? ?0,1? .故应选 A.

考点:集合的交集补集运算.

2.设 i 为虚数单位,则复数 z ? 1? i 在复*面内对应的点所在的象限是( ) i

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

【答案】D

考点:复数的运算. 3.“m>0,n>0”是“曲线 mx2—ny2=1 为双曲线”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】充分性:若“m>0,n>0”,则“曲线 mx2—ny2=1 为双曲线”成立,满足; 必要性:若“曲线 mx2—ny2=1 为双曲线”,则“m>0,n>0 或 m<0,n<0”,不满足; 所以是充分不必要条件,故选 A.
4.已知点 P?1,2? 与直线 l : x ? y ?1 ? 0 ,则点 P 关于直线 l 的对称点坐标为( ) A. ??3,?2? B. ??3,?1? C. ?2, 4? D. ??5, ?3?
【答案】A
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【解析】可以设对称点的坐标为 ? x, y? ,得到 y ? 2 ? 1, x ?1 ? y ? 2 ?1 ? 0 ? x ? ?3, y ? ?2.
x ?1 2 2
故答案为:A.

5.若椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? b ? 0) 的短轴长等于焦 距,则椭圆的离心率为(



A. 1 2

B. 3 3

【答案 】C

C. 2 2

D. 2 4

【解析】解:由题意可得: 2b ? 2c,?b ? c, a ? b2 ? c2 ? 2b,?e ? c ? b ? 2 . a 2b 2
本题选择 C 选项. 6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为( )

A. 4? B. 6?
【答案】B

C. 12?

D. 24?

【解析】由题意,外接球直径为 1?1? 4 ? 6 ,即半径为 R ? 6 , 2

所以 S ? 4? R2 ? 6? ,故选 B.

7.若

的展开式中常数项为 ,则实数 的值为( )

A.

B.

【答案】D

C. -2 D.

【解析】

的展开式通项为



,解得



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,令

,则有 ,∴



故选 D.

8.已知实数 , 满足

A.

B.

C.

【答案】C

,则 D.

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的最大值与最小值之和为( )

点睛:求线性目标函数 z=ax+by(ab≠0)的最值,当 b>0 时,直线过可行域且在 y 轴上截距最大时,z 值最大, 在 y 轴截距最小时,z 值最小;当 b<0 时,直线过可行域且在 y 轴上截距最大时,z 值最小,在 y 轴上截距最小时, z 值最大.
9.函数 f ?x? ? Asin??x ????A ? 0,? ? 0,0 ? ? ? ? ? 的图象如图所示,为了得到 g?x? ? Asin ?x 的图象,可将 f ?x? 的图象( )
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A.向右*移 ? 个单位 12
C.向左*移 ? 个单位 12
【答案】B

B.向右*移 ? 个单位 6
D.向左*移 ? 个单位 6

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10.在

中,点 满足

,过点 的直线与 , 所在直线分别交于点 , ,若



,则

的最小值为( )

A. 3 B. 4 C.

D.

【答案】A

【解析】分析:用 , 表示出 ,根据三点共线得出 的关系,利用基本不等式得出

的最小值.

详解: 三点共线,


当且仅当



故选 A.

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时等号成立.

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点睛:考查向量减法的几何意义,共线向量基本定理,以及*面向量基本定理,以及基本不等式的应用,属中档题.

评卷人 得分

二、填空题

11.若 【答案】

的面积为

,且∠C 为钝角,则∠B=_________; 的取值范围是_________.

【解析】分析:根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得

,可求得

;再利用



将问题转化为求函数 的取值范围问题.

详解:



,即







为钝角,





.

点睛:此题考查解三角形的综合应用,余弦定理的公式有三个,能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式

是解题的第一个关键;根据三角形内角

的隐含条件,结合诱导公式及正弦定理,将问题转化为求解含

的表达式的最值问题是解题的第二个关键.

12.已知单位向量 满足

,向量 使得

,则 的最小值为______, 的最大值为____ ___.

【答案】 【解析】分析:建立*面直角坐标系,利用数形结合将问题转化为数的运算来处理.

详解:设

,建立如图所示的*面直角坐标系,则点 A,B 的坐标分别为



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,则







∴ 整理得 ∴点 C 的轨迹是以

, 为圆心,半径为 的圆.





∵ 表示圆上的点到原点的距离,

∴ 的最小值为 又

. ,表示圆上的点的横坐标,

结合图形可得

的最大值为



故答案为

,.

点睛:数量积的运算有两种方式,一是用定义运算,二是用坐 标运算.向量的坐标运算实质上就是数的运算,同时

借助数形结合使运算变得简单、直观形象,这点要通过建立*面直角坐标系来实现.

13.已知数列 满足 __________.
【答案】 ,
【解析】分析:由 减法可得结果.

,且

,则 __________,数列 满足

,则数列 的前 项和

;

可得 为等差数列,公差首项都为 ,可得

,由此可得

,利用错位相

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详解:由

可得



所以 为等差数列,公差首项都为 ,

由等差数列的通项公式可得

,



,

,

相减

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,故答案为 ,

.

点睛:本题主要考查等差数列的通项以及错位相减法求数列的前 项和,属于中档题.一般地,如果数列 是等

差数列, 是等比数列,求数列

的前 项和时,可采用“错位相减法”求和,一般是和式两边同乘以等比数

列 的公比,然后作差求解, 在写出“ ”与“ ” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准

确写出“

”的表达式.

14.(1)随机变量 的所有可能取值构 成的集合为 ____________;

,且





,则

(2)随机变量 的分布列为

, 1,2,3,4,其中 为常数,则

【答案】 . .

【解析】(1)因为随机变量 的所有可能取值构成的集合为

,且



所以



(2)由已知可得

,故 ,所以



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____________.





15.已知函数 ___________. 【答案】

,若对任意的

,恒有

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成立,则实数 的取值范围是

1

6.上合组织峰会将于 2018 年 6 月在青岛召开,组委会预备在会议期间将

这五名工作人员分配到两个不同

的地点参与接待工作.若要求 必须在同一组,且每组至少 2 人,则不同分配方法的种数为__________.

【答案】8.

【解析】分析:AB 捆绑在一起,分两类,一类是 A、B 两人在一组,另三人在一组,一类是 A、B 再加另一人在一

组,另一组只有 2 人,还要注意有两个地点是不同的.

详解:由题意不同的分配方法为



故答案为 8.

点睛:解决排列组合问题,关键是要确定完成这件事件的方法,是分类完成还是分步完成,还要注意步骤与方法不

不重不漏,在求解时对一些特殊元素或特殊位置要优先处理、优先考虑.

17.已知直三棱柱

中,





,若棱 在正视图的投影面 内,且 与投

影面 所成角为

,设正视图的面积为 ,侧视图的面积为 ,当 变化时, 的最大值是__________.

【答案】 【解析】分析:利用 与投影面 所成角 ,
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,建立正视图的面积为

和侧视图的面积为 的关系,利用 详解:

,求解 最大值.

与投影面 所成角 时,*面 如图所示, ,





故正视图的面积为



因为

,所以



侧视图的面积为



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, ,
, 故得 的最大值为 ,故答案为 . 点睛:求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题,然后根据:配方法、换元 法、不等式法、三角函数法、图象

法、函数单调性法求解,利用三角函数法求最值常见类型有:①化成

的形式利用配方法求最

值;②形如

的可化为

求最值 .

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的形式利用三角函数有界性求最值;③

型,可化为

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评卷人 得分

三、解答题

18.已知函数 f ? x? ? 2 3sinax ?cosax ? 2cos2ax ?1 (0 ? a ? 1) .

(Ⅰ)当 a

? 1 时,求函数

f

? x? 在区间

?? ??12

,? 2

? ??

上的最大值与最小值;

(Ⅱ)当

f

?

x

?

的图像经过点

? ??

? 3

,

2

? ??

时,求 a

的值及函数

f

? x? 的最小正周期.

【答案】(Ⅰ)最大值 2,最小值为 ?1;(Ⅱ) a ? 1 .最小正周期T ? 2? .
2
【解析】试 题分析:(1)根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式化简可得

f

?x?

?

2sin

? ??

2x

?

? 6

? ??

,因为

? 12

?

x

?

? 2

,所以 ? 3

?

2x ?

? 6

?

7? 6

,根据正弦函数的单调性与图象可得函数

f

?x?

在区间

?? ??12

,

? 2

? ??

上的最大值与最小值;(2)根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式化简

可得

f

?x?

?

2sin

? ??

2ax

?

? 6

? ??

,点

? ??

? 3

,

2

? ??

代入解析式可得 a

?

3k

?

1 2

?k

?Z?

,结合 0

?

a

?1即可得 a

?

1 2

,进而

可 T=2? .

试题解析:(1)当 a ?1时, f ? x? ? 2 3sinx ?cosx ? 2cos2x ?1

?

3sin2x ? cos2x

?

2sin

? ??

2x

?

? 6

? ??

.

因为 ? ? x ? ? ,所以 ? ? 2x ? ? ? 7? .

12

2

3

66

所以,当 2x ? ? ? ? ,即 x ? ? 时, f ? x? 取得最大值 2 ,

62

6

当 2x ? ? ? 7? ,即 x ? ? 时, f ? x? 取得最小值为 ?1.

66

2

(2)因为 f ? x? ? 2 3sinax ?cosax ? 2cos2ax ?1(0 ? a ?1),

所以 f ? x? ?

3sin

2ax

?

cos2ax

?

2sin

? ??

2ax

?

? 6

? ??



因为

f

?

x

?

的图象经过点

? ??

? 3

,

2

? ??



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所以

2sin

? ??

2a? 3

?? 6

? ??

?

2

,即

sin

? ??

2a? 3

?

? 6

? ??

?1.

所以 2a? ? ? ? ? +2k? .所以 a ? 3k ? 1 ?k ? Z ? .

3 62

2

因为 0 ? a ?1,所以 a ? 1 . 2

所以 f ? x? 的最小正周期 T= 2? ? 2? .
1

19.如图(甲),在直角梯形 ABED 中, AB / /DE , AB ? BE , AB ? CD ,且 BC ? CD , AB ? 2 , F 、

H 、 G 分别为 AC 、 AD 、 DE 的中点,现将 ?ACD 沿 CD 折起,使*面 ACD ? *面 CBED ,如图(乙).

(1)求证:*面 FHG / / *面 ABE ; (2)若 BC ? 4 ,求二面角 D ? AB ?C 的余弦值.
3 【答案】(1)详见解析(2) 6
6

试题解析:
(1)证明:由图(甲)结合已知条件知四边形 CBED 为正方形,如图(乙),
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∵ F、H、G 分别为 AC、AD、DE 的中点,∴ FH / /CD, HG / / AE .

∵ CD / /BE ,∴ FH / /BE .

∵ BE ? 面 ABE , FH ? 面 ABE .∴ FH / / 面 ABE .

同理可得 HG / / 面 ABE ,

又∵ FH ? HG ? H ,∴*面 FHG / / *面 ABE .

(2) BC ? 4 这时 AC ? 2 ,

3

3

从而 AB ? AC 2 ? BC 2 ? 2 5 , 3

过点 C 作 CM ? AB 于 M ,连结 MD .

∵ CD ? AC,CD ? BC, AC ? BC ? C ,∴ CD ? 面 ABC .

∵ CM ? 面 ABC ,∴ CM ? CD,∴ AB ?面 MCD , ∵ MD ? 面 MCD ,∴ AB ? MD, ∴ ?CMD 是二面角 D ? AB ?C 的*面角,



AB ? CM

?

AC ? BC

得 CM

?

AC ? BC

?

2? 3

4 3

?

4

5,

AB 2 5 15

3

∴ MD ? MC2 ? CD2 ? 4 6 , 35

45 在 Rt?MCD 中 cos?CMD ? MC ? 15 ? 6 .
MD 4 6 6
6

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点睛:本题考查面面*行的判定定理,考查用定义求二面角,考查了线面垂直的判定定理, 注意证明过程的严谨性,计算的准确性,属于中档题.
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20.各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知点(an,an+1)(n∈N*)在函数 y ? 1 x 3

的图象上,且

S3

?

13 9



(1)求数列{an}的通项公式及前 n 项和 Sn;

(2)已知数列{bn}满足 bn=4﹣n,设其前 n 项和为 Tn,若存在正整数 k,使不等式 Tn>k 有解,且

? ? k ??1?n an2 ? Sn n ? N* 恒成立,求 k 的值.

【答案】(1)

an

?

? ??

1 3

?n?1 ??

, Sn

?

3 2

? ?1 ??

?

? ??

1 ?n 3 ??

? ? ??

;(2) k 的取值为 1,2,3,4,5.

【解析】试题分析:(1)利用点在函数的图象上,推出递推关系式,然后求解数列的和.

(2)利用不等式恒成立,转化为函数的关系,通过二次函数的性质,以及数列的和得到不等式,求解 k 即可.

试题解析:

(1)由题意,



得数列{an}为等比数列,



,解得 a1=1.



.



(2)

(n∈N*)恒成立等价于

(n∈N*)恒成立,

当 n 为奇数时,上述不等式左边恒为负数,右边恒为正数,所以对任意正整数 k,不等式恒成立;

当 n 为偶数时,上述不等式等价于

恒成立,



,有



则①等价于 2kt2+t﹣3<0 在

时恒成立,

因为 k 为正整数,二次函数 y=2kt2+t﹣3 的对称轴显然在 y 轴左侧,

所以当

时,二次函数为增函数,

故只须



解得 0<k<12,k∈N*.{bn}是首项为 b1=3,公差为 d=﹣1 的等差数列,所以前 n 项和

=



当 n=3 或 4 时,Tn 取最大值为 6.Tn>k 有解?(Tn)max>k?k<6. 又 0<k<12,k∈N*,

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得 0<k<6,k∈N*, 所以 k 的取值为 1,2,3,4,5.

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21.已知抛物线

的准线为 ,焦点为 .⊙M 的圆心在 轴的正半轴上,且与 轴相切.过原点 作倾斜

角为 的直线,交 于点 , 交⊙M 于另

一点 ,且

.

(Ⅰ)求⊙M 和抛物线 的方程;

(Ⅱ)过圆心 的直线交抛物线 于 、 两点,求

的值

【答案】(Ⅰ)抛物线 的方程为



的方程为(



(Ⅱ)



【解析】分析:(Ⅰ)根据 方程;

可求出 的值,从而求出抛物线方程,求出圆心和半径可求出 的

(Ⅱ)分类讨论,设出直线方程代入抛物线方程,利用韦达定理及向量的数量积公式,即可求得结论.

详解:(Ⅰ)因为



,所以抛物线 的方程为

设 的半径为 ,则

所以 的方程为( (Ⅱ)由(Ⅰ)可知

; ,设

(1)当 斜率不存在时, 则

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点睛:本题考查抛物线与圆的方程,考查直线与抛物线的位置关系,考查向量知识的运用,考查学生的计算能力, 属于中档题.
22.已知函数 f ? x? ? ex ? mx2 ? 2x

(1)若 m ? 0,讨论 f ? x? 的单调性;

(2)若 m ? e ?1 ,证明:当 x ??0, ???时, f ? x? ? e ?1

2

2

【答案】(1)在 ???,ln2? 上单调递减,在 ?ln2,+?? 上单调递增;(2)详见解析.

【解析】试题分析:(1)当 m ? 0时, f ? x? ? ex ? 2x ,利用导数与单调性的有关知识,可求得函数的单调区间.

(2)对函数 f ? ?x 求两次导数,利用二阶导数判读出一阶导数单调 递增有唯一零点,设出这个零点,得到 f ? x? 的 单调区间和最小值.构造函数 g ? x? =ex ? 1 xex ? x ,同样利用二阶导数判断出 g ? x? 的单调区间,由此求得 g ? x? 的
2
值域. 试题解析:
(1)当 m ? 0时, f ? x? ? ex ? 2x . f ?? x? ? ex ? 2 ,令 f ?? x? ? 0 ,得 x ? ln2 .
易知 f ? x? 在 ???,ln2? 上单调递减, f ? x? 在 ?ln2,+?? 上单调递增. (2)证明: f ?? x? ? ex ? 2mx ? 2 , f ??? x? ? ex ? 2m ? ex ? 2?e ? 2 =ex ? ?e ? 2? .
2
当 x??0,? ?? 时, ex ?1 ? e ? 2 ,故 f ??? x? ? 0 ,故 f ?? x? 单调递增.



f ??0? ? 1? 2 ? ?1

0,f ??1? ? e ? 2m ? 2

e

?

2

?

? ??

e 2

?1???

?

2

?

0



故存在唯一的 x0 ??0,1? ,使得 f ?? x0 ? ? 0 ,即 ex0 ? 2mx0 ? 2=0 ,

且当 x ??0,x0 ? 时, f ?? x? ? 0 ,故 f ? x? 单调递减,

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当 x ??x0,+?? 时, f ??x? ? 0,故 f ? x? 单调递增.

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f

?x? min

?

f

?x0 ?

? ex0

? mx02

? 2x0



因为

x

?

x0 是方程 ex0

?

2mx0

? 2=0 的根,故 m=

ex0 ? 2 2x0



? ? 故 f

x

min

? ex0

?

ex0 ? 2x0

2

x02

?

2x0

=ex0

?

1 2

x0ex0

? x0 .

令 g ? x? =ex ? 1 xex ? x,x ??0,1? , g'? x? = 1 ex ? 1 xex ?1, g? ? x? = ? 1 xex ? 0 .

2

22

2

故 g'? x? 在(0,1)上单调递减,故 g '? x? ? g'?0? ? ? 1 ? 0 ,
2

故 g ? x? 在(0,1)上单调递减,∴ g ? x? ? g ?1? ? e ?1 ,故 f ? x? ? e ?1.

2

2

点睛:本题主要考查导数与单调性的对应关系,考查利用二阶导数证明不等式等知识.第一问由于 m 的值是给定的,

? ? 故对函数求导,利用到导函数可得到函数的单调区间.第二问 m 的值是没有给定的, 对函数 f x 求导后发现无法

判断函数的单调区间,故需要对函数求二阶导数,利用二阶导数研究一阶导数的性质,由此得到原函数的单调区间 和最值.

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