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2015年秋新苏教版高中数学必修五:2.2.1《等差数列的概念及通项公式》课件

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2.2.1 等差数列的概念及通项公式 情景导入 栏 目 链 接 相信同学们都听说过天才数学家高斯小时候计算1+2+3 +…+100的故事,不过,这很可能是一个不真实的传说, 据对高斯素有研究的数学史家E.T.贝尔(E.T.Bell)考证,高 斯的老师布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题: 81 297+81 495+81 693+…+100 899.当布特纳刚写完这道 题时,高斯也算完了,并把答案写在了小石板上.你知道 高斯是如何计算的吗? 课 标 点 击 栏 目 链 接 1.理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式,并 能运用公式解决一些简单的问题. 2.掌握等差数列的常用性质,并能灵活地运用这些性质, 使解题过程简捷准确. 栏 目 链 接 要 点 导 航 栏 目 链 接 知识点1 等差数列 如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的 差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这 个常数叫做等差数列的公差.应当注意的是: (1)在定义中,之所以说“从第2项起”,首先是因为首项 没有“前一项”,其次是如果一个数列,不是从第2项起, 而是从第3项起,每一项与它的前一项的差是同一个常数 (an+1-an=d,n∈N*,且n≥2),那么这个数列不是等差数 列,但可以说这个数列从第2项起(即去掉第1项后)是一个 等差数列.例如,数列1,4,5,6,7,8,9,10就不是等 差数列,而去掉第1项后,剩下的数组成的数列就是等差数 列. 栏 目 链 接 (2)如果一个数列,从第2项起,每一项与它的前一项的 差都是常数,那么这个数列不一定是等差数列,因为这 个常数可能不唯一. (3)一个等差数列的公差d是这个数列的后一项与前一项的 差.因为等差数列具有d=an+1-an=an-an-1=…=a2 -a1的特点,所以求公差可以用an+1-an,也可以用an- an-1,还可以用a2-a1等.公差d可以是任何实数,当d= 0时,数列是常数列;当d>0时,数列为递增数列;当d <0时,数列为递减数列. (4)等差数列的定义还可表述为:在数列{an}中,若an+1- an=d(n∈N*),d为常数,则{an}是等差数列,常数d为公 差. 栏 目 链 接 知识点2 等差数列的判定方法 (1)an+1-an=d(常数)?{an}是等差数列. (2)2an+1=an+an+2 (n∈N*)?{a n}是等差数列. (3)an=kn+b(k,b为常数)?{an}是等差数列. 栏 目 链 接 知识点3 等差数列的常用性质 若数列{an}是公差为 d 的等差数列. (1)d>0,{an}是递增数列,d<0,{an}是递减数列;d=0,{an} 是常数列. (2)d= an-a1 am-ak = (m,n,k∈N*). n-1 m-k 栏 目 链 接 (3)an=am+(n-m)d(m,n∈N*). (4)若 m+n=p+q(m,n,q,p∈N*)则 am+an=ap+aq. m +n (5) =k,则 am+an=2ak(m,n,k∈N*). 2 (6){an}是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之 和都相等,且等于首末两项之和,即a1+an=a2+an-1 =…=ai+an-i+1=…. (7)下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+ * 2m,…(k,m∈N )组成公差为md的等差数列. (8)若{bn}为等差数列,则{an±bn},{kan+bn}(k,b为非零 常数)也是等差数列. 栏 目 链 接 知识点4 解答等差数列有关问题时应注意的问题 (1)首项与公差,是解决等差数列问题的关键. (2)等差数列的通项公式涉及4个量a1,an,n,d,知道任意三 个就可以列方程求另外一个. 基础. (4)寻求条件与结论的共用式以便进行整体代换,使运算更为迅 速和准确. (5)学会运用函数的思想和方法解题. 栏 目 链 (3)熟练掌握并灵活运用定义、通项公式是解决等差数列问题的 接 典 例 解 析 栏 目 链 接 题型1 等差数列定义及其应用 例1 在等差数列中,am=n,an=m(m≠n),则am+n为 ( ) A.m-n B.0 C.m2 D.n2 分析:a1,d是等差数列的基本元素,可先求出基本元 素,再用它们去构成其他元素进行解答,或利用数列是 特殊的函数这一点进行求解,或利用选择题的特点进行 求解. 栏 目 链 接 解析:方法一 设首项为 a1,公差为 d,则 ? ? ?a1+(m-1)d=n, ?a1=m+n-1, ? 解得? ? ? ?a1+(n-1)d=m, ?d=-1. ∴am+n=a1+(m+n-1)d=m+n-1-(m+n-1)=0. 故选 B. 方法二 ?y=0. m-n y-m 设 am+n=y,则由三点共线有 = n-m (m+n)-n 栏 目 链 接 方法三 由 am=n,an=m 知,在直角坐标*面上的 A(m,n)、 B(n,m)两点关于直线 y=x 对称,又∵A、B、C(m+n,am+n)是等 am+n-m 差数列中的项,∴A、B、C 在同一直线上且斜率为-1.∴ = m+n-n -1.∴am+n=0. 方法四 栏 目 因结论唯一, 故只需取一个满足条件的特殊数列: 2, 1, 链 接 0,便可知结论,选 B. 答案:B 名师点评:方法一是常规解法,方法二较巧,方法三更巧,在解 选择题时,我们要尽量做到小题小解或小题巧解. ?变式迁移 1.(2013· 辽宁卷)下面是关于公差 d>0 的等差数列{an}的四个命题: p1:数列{an}是递增数列;p2:数列{nan}是递增数列; an p3:数列{ }是递增数列;p4:数列{an+3nd}是递增数列. n 其中真命题为(D) A.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p4 解析:[an+1+3(n+1)d



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